Escribe una operación y pulsa =
Verás el procedimiento completo, como en el cuaderno.
Inspirada en La Calculadora de Alicia, creada originalmente por José Pol Lezcano.
Un número primo es el que sólo se puede dividir de forma exacta entre 1 y entre sí mismo. El 7 es primo porque no hay ningún otro número que lo divida sin dejar resto. El 8 no lo es, porque también se puede dividir entre 2 y entre 4. Para comprobar si un número es primo basta con probar los divisores hasta su raíz cuadrada, no hace falta llegar más lejos.
¿Qué es exactamente un número primo?
Un número natural mayor que 1 es primo cuando tiene exactamente dos divisores: el 1 y él mismo.
Si tiene más de dos, se llama compuesto.
| Número | Divisores | Cuántos | Qué es |
|---|---|---|---|
| 7 | 1, 7 | 2 | Primo |
| 12 | 1, 2, 3, 4, 6, 12 | 6 | Compuesto |
| 13 | 1, 13 | 2 | Primo |
| 15 | 1, 3, 5, 15 | 4 | Compuesto |
¿Por qué el 1 no es primo?
Porque sólo tiene un divisor, él mismo, y la definición exige dos.
Es la duda más repetida en clase, y la respuesta no es un capricho. Si el 1 fuera primo, la descomposición en factores primos dejaría de ser única: el 12 podría escribirse como 2 × 2 × 3, pero también como 1 × 2 × 2 × 3, o 1 × 1 × 2 × 2 × 3, y así infinitamente.
Dejar el 1 fuera es lo que hace que cada número tenga una sola descomposición posible. Y esa unicidad es la base de casi todo lo que viene después con fracciones, mínimo común múltiplo y máximo común divisor.
¿Cuál es el único número primo par?
El 2. Y no hay más.
Cualquier otro número par se puede dividir entre 2, así que automáticamente tiene un tercer divisor y deja de ser primo. El 2 se salva porque en su caso ese divisor es él mismo.
De ahí sale un atajo útil: a partir del 2, todos los primos son impares. Si un número acaba en 0, 2, 4, 6 u 8 y no es el 2, ya sabes que no es primo sin hacer ninguna cuenta.
Los criterios de divisibilidad
Antes de ponerse a dividir conviene aplicar estos criterios: descartan la mayoría de los números en segundos.
| Divisible entre | Cuándo | Ejemplo |
|---|---|---|
| 2 | Acaba en 0, 2, 4, 6 u 8 | 134 → sí |
| 3 | La suma de sus cifras es múltiplo de 3 | 261 → 2+6+1=9 → sí |
| 4 | Sus dos últimas cifras son múltiplo de 4 | 1.316 → 16 → sí |
| 5 | Acaba en 0 o en 5 | 475 → sí |
| 6 | Es divisible entre 2 y entre 3 | 132 → sí |
| 9 | La suma de sus cifras es múltiplo de 9 | 621 → 6+2+1=9 → sí |
| 10 | Acaba en 0 | 980 → sí |
El criterio del 3 es el que más sorprende y el que más trabajo ahorra. Para saber si 261 es divisible entre 3 no hace falta dividir: se suman sus cifras (2 + 6 + 1 = 9), y como 9 es múltiplo de 3, la respuesta es sí.
El truco de la raíz cuadrada
Para comprobar si un número es primo sólo hay que probar los divisores primos hasta su raíz cuadrada. Pasada la raíz, no puede aparecer ningún divisor nuevo.
La razón es sencilla: los divisores van siempre en pareja. Si 91 se dividiera entre 13, el otro miembro de la pareja sería 7 — y el 7 es más pequeño que la raíz de 91, así que ya lo habríamos encontrado antes.
Veamos 97:
- La raíz cuadrada de 97 es aproximadamente 9,8.
- Hay que probar sólo los primos hasta 9: 2, 3, 5 y 7.
- ¿Entre 2? No, es impar.
- ¿Entre 3? 9 + 7 = 16, que no es múltiplo de 3. No.
- ¿Entre 5? No acaba en 0 ni en 5. No.
- ¿Entre 7? 7 × 13 = 91, 7 × 14 = 98. No da exacto.
- Ninguno lo divide: 97 es primo.
Cuatro comprobaciones en lugar de noventa y cinco.
Cuidado con el 91. Es impar, no acaba en 5 y sus cifras suman 10. Parece primo — pero 91 = 7 × 13. Es la trampa favorita de los exámenes, y se cae en ella por saltarse el 7.
Los números primos hasta el 100
Son 25. Conviene tenerlos vistos:
2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17 · 19 · 23 · 29 · 31 · 37 · 41 · 43 · 47 · 53 · 59 · 61 · 67 · 71 · 73 · 79 · 83 · 89 · 97
Se distribuyen de forma irregular: entre 1 y 10 hay cuatro, y entre 90 y 100 sólo uno. Cuanto más grandes, más escasos — aunque nunca se acaban: Euclides demostró hace más de dos mil años que hay infinitos.
¿Para qué sirven en clase?
Los primos no se estudian como curiosidad. Son la herramienta de tres cosas que vienen justo después:
- Descomponer en factores primos. Todo número compuesto se escribe como producto de primos, y de una sola manera: 60 = 2 × 2 × 3 × 5.
- Simplificar fracciones. Para reducir una fracción hay que encontrar los factores comunes del numerador y el denominador.
- Calcular el m.c.m. y el m.c.d. Ambos se obtienen a partir de la descomposición en factores primos.
Por eso merece la pena dominarlos: sin ellos, todo lo demás se vuelve tanteo.
Escribe cualquier número en la calculadora de arriba y pulsa | para ver su descomposición con la barra vertical, tal como se hace en el cuaderno. Tienes más ejemplos en factores primos paso a paso.
La criba de Eratóstenes
Es el método clásico para encontrar todos los primos hasta un número, y funciona igual de bien hoy que hace veintitrés siglos:
- Escribe todos los números del 2 al 100.
- Rodea el 2 y tacha todos sus múltiplos: 4, 6, 8, 10…
- Rodea el 3 y tacha todos sus múltiplos: 6, 9, 12, 15…
- Rodea el 5 y tacha sus múltiplos. Después el 7.
- Al llegar al 11 puedes parar: 11 × 11 = 121, más de 100.
- Los números que quedan sin tachar son los primos.
Es un ejercicio excelente para hacer en papel con un niño, porque el patrón se ve aparecer mientras se tacha.
Preguntas frecuentes
¿El 1 es un número primo?
No. Sólo tiene un divisor y la definición exige exactamente dos. Además, si lo fuera, la descomposición en factores primos dejaría de ser única.
¿El 2 es primo?
Sí, y es el único primo par. Todos los demás números pares se dividen entre 2, lo que les da un tercer divisor.
¿Cuántos números primos hay entre 1 y 100?
Veinticinco: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97.
¿Cómo sé rápido si un número es primo?
Aplica primero los criterios de divisibilidad entre 2, 3 y 5. Si sobrevive, prueba con los primos que quedan hasta su raíz cuadrada. Si ninguno lo divide, es primo.
¿Cuál es el número primo más grande?
No existe. Euclides demostró que hay infinitos primos. Lo que sí hay es un primo conocido más grande, que se va superando cada pocos años con ordenadores.
¿Qué diferencia hay entre primo y compuesto?
El primo tiene exactamente dos divisores; el compuesto tiene más de dos. El 1 no es ni una cosa ni la otra: es un caso aparte.
Sigue practicando
- Factores primos paso a paso — la descomposición con la barra vertical
- División paso a paso — para comprobar divisibilidad cuando los criterios no llegan
- Multiplicación paso a paso — para verificar la descomposición
- Calculadora Alicia — todas las operaciones con su procedimiento escrito